复分析

复分析研究复变函数，具有许多优美的性质。

核心概念

复数：$z = x + iy$，其中 $i^2 = -1$

复指数：$e^z = e^x(\cos y + i\sin y)$

柯西-黎曼方程：若 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 解析，则： $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

柯西积分定理： $$\oint_C f(z) dz = 0$$ （$f$ 在区域内解析）

留数定理： $$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, a_k)$$