抽象代数

抽象代数研究群、环、域等代数结构。

核心概念

群（Group）：集合 $G$ 配备运算 $\cdot$ 满足： 1. 封闭性：$a \cdot b \in G$ 2. 结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 3. 单位元：$\exists e, a \cdot e = a$ 4. 逆元：$\exists a^{-1}, a \cdot a^{-1} = e$

环（Ring）：配备加法和乘法的集合，加法是阿贝尔群，乘法半群，满足分配律。

域（Field）：交换除环，非零元都有乘法逆元。

例子： - 群：$(\mathbb{Z}, +)$, $S_n$（对称群） - 环：$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ - 域：$\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_p$