代数拓扑
代数拓扑用代数工具（群、环）研究拓扑空间。
核心概念
同调群： $$H_n(X) = \ker \partial_n / \text{im} \partial_{n+1}$$ 度量 $n$ 维"洞"的个数。
上同调： 对偶概念，有环结构： $$H^*(X) = \bigoplus_n H^n(X)$$
同伦群： $$\pi_n(X, x_0) = [S^n, X]$$
庞加莱对偶： 对于 $n$ 维闭定向流形： $$H^k(M) \cong H_{n-k}(M)$$
从基础到前沿的完整学习路径
代数拓扑用代数工具（群、环）研究拓扑空间。
同调群： $$H_n(X) = \ker \partial_n / \text{im} \partial_{n+1}$$ 度量 $n$ 维"洞"的个数。
上同调： 对偶概念，有环结构： $$H^*(X) = \bigoplus_n H^n(X)$$
同伦群： $$\pi_n(X, x_0) = [S^n, X]$$
庞加莱对偶： 对于 $n$ 维闭定向流形： $$H^k(M) \cong H_{n-k}(M)$$