实分析

实分析为微积分提供严格的理论基础。

核心概念

实数完备性：任何有上界的非空实数集都有上确界。

度量空间：集合 $X$ 配备距离函数 $d: X \times X \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ 满足： 1. $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ 2. $d(x,y) = d(y,x)$ 3. $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$

勒贝格积分：推广了黎曼积分，能积分更广泛的函数类。

$L^p$ 空间： $$|f|_p = \left(\int |f|^p d\mu\right)^{1/p}$$